1. аналитическая геометрия на плоскости: 2 страница Главная страница сайта Об авторах сайта Контакты сайта

1. аналитическая геометрия на плоскости: 2 страничка


Рейтинг документа: 10
Голосовал 271 человек 271 10

7. Даны две вершины А (-5,0) и В (3,-4) и точка D (2,0) пересечения высот треугольника. Составить уравнение его сторон.

8. Найти расстояние от точки М (-5,0) до прямой, проходящей через точки

А (-2,0) и В (0,4).

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением 5х2-12у2-20х+24у-52=0. Найтикоординаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Точка М1(5,-1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+4=0. Составить уравнение этого эллипса, зная егоэксцентриситет .

12. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (2,4) и от прямой х+2=0. Определить какая это линия, сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия .

2.определители. базис в пространстве.

координаты вектора.

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложениям по элементам первой строки;

в) разложениям по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду;

а) ; б) ; в) ;г) .

15. Даны векторы: (1,-1,-2), =(4,3,6), =(3,1,2), =(0,-3 ,-6) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты векторов в этом базисе.

3. линейны операции над векторами, проекция вектора

на ось, скалярное, векторное и смешаные произведения

векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором = (1,2,-3).

17. Два вектора =(6,2,-3) и =(-7,-4,4) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что =6 .

18. Найти проекцию вектора =(-1,3,4) на направление вектора =i+2j+4k.

19. Найти проекцию вектора =(1,3, ) на ось, составляющую с координатными осями Ох и Оу углы , а с осью Оу – острый угол .

20. В четырехугольнике ОАВС угол при вершине О имеет величину 600, а диагональ ОВ является биссектрисой этого угла. Известно, что Найти величину угла между векторами и , используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по стороне ОС четырехугольника (в связи с этим сторону ОС желательно расположить на рисунке горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С;

в) найти координаты векторов и ;

г) найти по формуле

д) подсчитать искомый угол по формуле

21. В плоскости ХОZ найти вектор , перпендикулярный вектору и имеющий одинаковую с ним длину.

22. На векторах и построен треугольник. Найти длину медианы, проведенной из вершины А, если

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(1;1;-1), =2 .

24. Даны вершины треугольника АВС: А(6;0;3), В(8;1;2), С(2;3;-1). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.



25. Вычислить , если =1, =2, = .

26 Найти вектор , ортогональный векторам =- ; = , если где с=(1;0;3).

27. Вычислить смешанное произведение векторов =(2;1;2), =(1;1;2), =(2;1;-1).

28. Установить, компланарны ли векторы = , = , = .

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А (1;3;4). В (9;7;5), С (3;1;5), D (5;3;7).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и ; . Зная, что =1, = , =4, найти , если тройка векторов , , - правая.

4.аналитическая геометрия в прстранстве: плоскость

и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (0,-1,2) параллельную плоскости: 2х-у- z-1=0.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости х-у+2z-1=0.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку А(1;2;-2) перпендикулярно двум плоскостям: 2х+2у+3z-1=0, х+2у- z+5=0.

35. Найти расстояние d точки М(0;4;1) до плоскости 2х-у+2 z+8=0.

36. На оси Ох найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2х-у-2 z-3=0 на расстоянии d=3.

37. Даны вершины треугольника А(0;-1;2) В(-1;-3;0), С (-7;-6;-2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(2;-3;1) параллельной прямой: х=t-2, у=5 t+3, z=2 t+5.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости х-2у+3z-5=0.

40. Найти проекцию точки М (3;-2;5) на прямую х=t+4, У=-2t+6, z=5t+2.

41. Найти координаты точки А, симметричной точке В(-1;0;1) относительно плоскости: 2х-у+2z+9=0.

42. Найти координаты точки М1, симметричной точке М2(0;-1;2) относительно прямой: .

43. Вычислить расстояние d точки М(2;1;2) от прямой .

Загрузка...

44. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М0(7;2;0) параллельно плоскости П: 3х-2у-3z+1=0 и пересекает прямую l: , используя последовательность действий:

а) найти уравнение плоскости П1, проходящей через точку М0 параллельно плоскости П (см. задачу 31);

б) найти координаты точки М1 пересечения прямой l и плоскости П1(см. задачу 39);

в) найти канонические уравнения искомой прямой, как прямой, проходящей через точки М0 и М1.

45. Даны координаты вершин пирамиды А1(3;4;-1), А2(2;3;-1), А3(-1;0;-2), А4(0;4;6).

Найти: 1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) угол между ребром А1А4; и гранью А1А2А3;

3) уравнение прямой А1А2;

4) уравнение плоскости А1А2А3;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) х2+z2=4; х2+z2=2у; у=0;

б) , х2+у2=9.

5.ЭЛЕменты линейной алгебры: системы линейных

уравнений; матрицы; линейное векторное пространство;

линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

х1+х2-2х3-3х4=0,

х1+2х2+х3+х4=0,

2х1+3х2-х3-2х4=0,

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу D=ВА-1+3СВТ, где

50. Найти ранги матриц: а) б) .

51. Дана система линейных уравнений

х1-х2+х3-=-2,

3х1+2х2-4х3=3,

-2х1+х2-х3=-1,

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) средствами матричного исчисления,

4) по формулам Крамера,

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) все векторы (х;у;z) арифметического пространства R3, координаты которых удовлетворяют уравнению 2х+3у-4z=0,

б) все векторы (х;у;z) из R3, координаты которых удовлетворяют уравнению

2х+3у-4z=2.

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(3;2; ); =(1;-3;-2); =(2;1;3), =(1;1;2).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из R4 линейно зависимой ?

=(2;1;1;-2); =(1;0;0;2), =(1;2;-3;4), =(3;3;-2;2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R4, матрицы которых относительно некоторогопрямоугольного базиса имеют вид: а) б)

56. Показать, что дифференцированние является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени ≤5 от одного неизвестного с вещественными коэффициентами и найти матрицу этого преобразования в базисе:f1(х)=1, f2(х)=х, f3(х)=х2, f4(х)=х3, f5(х)=х4, , f6(х)=х5.

57. Линейный оператор - оператор зеркального отражения векторов плоскости относительно прямой у=3х, а оператор - оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол . Найти матрицы операторов ; ; в базисе ( .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей


ОТВЕТЫ:

2. 4х+у+3=0. 3.(-5;-1). 4.(4;-3) и (0,-5). 5.(0;-6) и (-1;-5). 6.2х-5у-5=0, 2х-5у-34=0, 7х-3у-32=0. 7. х+2у+5=0, х-3=0, х-4у+5=0. 8.d= . 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 3; 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом ; 3) прямая, перпендикулярная к оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а=5; 4) прямая расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 7; 5) окружность с центром С( , r=7) и радиусом 7; 6) окружность с центром С( , r=3) и радиусом 3.10. Гипербола: , С(2,1), полуоси а=2 , b= , . 11. . 12. Парабола: (у-4)2=8х. 13. в) Правая ветвь гиперболы: . 14. а) 15; б) 2; в) 36; г) -2. 15. =(1;-1;1).16. 17.а) б)

в) (10,-20,2). 18. . 19. 3. 20. Arccos( )=1050301. 21. ±(2;0;4). 22. .23. (1;-4;-3); . 24. S = ,h = .25. ± 26. (30;-20;30). 27. -3. 28. Компланарны. 29. V=8 куб.ед.30. –4. 31. 2х-у-z+1=0. 32. х-у-z-2=0. 33. х-у-z+4=0. 34. 8х-5у-2z-2=0. 35. d=2. 36. (6;0;0) и (-3;0;0). 37. . 38. . 39. (5,-3,-2). 40.(5,4,7). 41. (-5,2,-3). 42. (-6,5,-4). 43. d=3. 44. 45. 1) arccos .2) -arccos . 3) 4) х-у+1=0. 5) 47. Х= , где С1,С2 . 48. , где а,b . 49. , , , . 50. а) r=2, б) r=3. 51. х1=3, х2=13, х3=8. 52. а) да, б) нет. 53. .54. да. 55. а) растяжение в 2 раза вдоль оси Оу, б) отражение относительно оси Оу . 56. . 57. А= , В= , АВ= , 58. Собственные значения: =0, =6, =3. Собственные векторы: , , С ; .

ВАРИАНТ 10

1.аналитическая геометрия на плоскости: простейшее

задачи аналитической геометрии на плоскости; прямая

на плоскости; линии второго порядка на плоскости.

1. Доказать, что точки А (-1,1), В (-4,5), С (-8,2) и D (-5,-2) являются вершинами квадрата.

2. Даны вершины треугольника А (-2,-2), В (-5,0), С (0,4). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

3. Найти координаты точки М, симметричной точке М2 (3,2) относительно прямой , проходящей через точки А (-2,1), В (-1,-4).

4. Даны две смежные вершины параллелограмма А (-6,2), В (-2,4) и точка пересечения его диагоналей М (-2,0). Определить координаты двух других вершин.

5. Отрезок, ограниченный точками А (-1,-6), В (-4,-3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х+2у+10=0, 5х+2у-19=0 и уравнение его диагонали 3х+7у+6=0. Составить уравнение остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

7. Даны две вершины А (-7,1) и В (1,-3) и точка Д (0,1) пересечения высот треугольника. Составить уравнение его сторон.

8. Найти расстояние от точки М (-7,1) до прямой, проходящей через точки

А (-4,1) и В (-2,5).

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями ( построить их на чертеже):

2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением 3х2-7у2-6х-28у-46=0. Найтикоординаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.


Другие страницы сайта


Для Вас подготовлен образовательный материал 1. аналитическая геометрия на плоскости: 2 страница